สมการไดโอแฟนไทน์ (p-1)^x-p^y=z^2 เมื่อ p เป็นจำนวนเฉพาะ
คำสำคัญ:
สมการไดโอแฟนไทน์, สมภาค, ส่วนตกค้างกำลังสองบทคัดย่อ
ในงานวิจัยนี้ได้ศึกษาผลเฉลยจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ของสมการไดโอแฟนไทน์
เมื่อ
เป็นจำนวนเฉพาะ ผลการวิจัยพบว่า ถ้า
แล้ว ผลเฉลยจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบของสมการดังกล่าว คือ
เมื่อ
เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ และถ้า
แล้ว สมการดังกล่าวมีผลเฉลยจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบเพียงผลเฉลยเดียว คือ
และถ้า
แล้ว ผลเฉลยจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ
ทั้งหมดของสมการคือ
และ
นอกจากนี้ ถ้า
และ
แล้ว ผลเฉลยจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบของสมการ คือ
และ
เมื่อ
เป็นจำนวนเต็ม
References
Buosi, M., Lemos, A., Porto, A.L.P. and Santiago, D.F.G. (2020). On the exponential Diophantine equation p^x-2^y=z^2 with p=k^2+2, a prime number. Southeast-Asian Journal of Sciences, 8(2), 103-109.
Burshtein, N. (2020). All the solutions of the Diophantine equations13^x-5^y=z^2, 19^x-5^y=z^2 in positive integers x,y,z. Annals of Pure and Applied Mathematics, 22(2), 93-96.
Burton, D.M. (2010). Elementary Number Theory. 7th ed., New York: McGraw-Hill.
Elshahed, A. and Kamarulhaili, H. (2020). On the Diophantine equation (4^n )^x-p^y=z^2. WSEAS Transactions on Mathematics, 19, 349-352.
Tadee, S. & Laomalaw, N. (2023). On the Diophantine equation (p+2)^x-p^y=z^2, where p is prime and p≡5(mod 24). International Journal of Mathematics and Computer Science, 18(2), 149-152.
Tadee, S. & Wannaphan, C. (2024). On the Diophantine equations (p+a)^x-p^y=z^2 and p^x-(p+a)^y=z^2. International Journal of Mathematics and Computer Science, 19(2), 459-465.
Thongnak, S., Chuayjan, W. & Kaewong, T. (2019). On the exponential Diophantine equation 2^x-3^y=z^2. Southeast-Asian Journal of Sciences, 7(1), 1-4.
Thongnak, S., Chuayjan, W. & Kaewong, T. (2021). The solution of the exponential Diophantine equation 7^x-5^y=z^2. Mathematical Journal, 66(703), 62-67.
Thongnak, S., Chuayjan, W. & Kaewong, T. (2023a). On the Diophantine equation 15^x-13^y=z^2. Annals of Pure and Applied Mathematics, 27(1), 23-26.
Thongnak, S., Kaewong, T. and Chuayjan, W. (2023b). On the Diophantine equation 55^x-53^y=z^2. Annals of Pure and Applied Mathematics, 27(1), 27-30.
