An Investigation of the Solutions of the System of Pell Equations x^2-8t^2y^2=1 and pz^2-t^2y^2=-1
Article Sidebar
Main Article Content
Abstract
This research aims to study the positive integer solutions of the Pell-type system of equations
x^2-8t^2y^2=1 and pz^2-t^2y^2=-1
where is a prime number, and t,x,y,z are positive integers satisfying the conditions gcd(x,y)=1 and gcd(t,x)=1. The methodology involves transforming the system into a form suitable for structural analysis. Number-theoretic concepts such as the properties of prime numbers, fourth power residues, and the quadratic reciprocity theorem are employed to classify cases and provide rigorous proofs. The results reveal that the system has no positive integer solutions; that is, there are no positive integers that simultaneously satisfy both equations. This study enhances the understanding of the behavior of Pell-type equations and promotes new approaches for analyzing complex structural systems in theoretical number theory. Moreover, the findings have the potential for application in future mathematical research.
Article Details
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International License.
เนื้อหาและข้อมูลในบทความที่ลงตีพิมพ์ในวารสารวารสารวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีถือเป็นข้อคิดเห็นและความรับผิดชอบของผู้เขียนบทความโดยตรงซึ่งกองบรรณาธิการวารสาร ไม่จำเป็นต้องเห็นด้วย หรือร่วมรับผิดชอบใด ๆ
บทความ ข้อมูล เนื้อหา รูปภาพ ฯลฯ ที่ได้รับการตีพิมพ์ในวารสารวารสารวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีถือเป็นลิขสิทธิ์ของวารสารวารสารวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีหากบุคคลหรือหน่วยงานใดต้องการนำทั้งหมดหรือส่วนหนึ่งส่วนใดไปเผยแพร่ต่อหรือเพื่อกระทำการใด ๆ จะต้องได้รับอนุญาตเป็นลายลักษณ์อักษรจากวารสารวารสารวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี ก่อนเท่านั้น
References
Bennett, M.A. (1998). On the number of solutions of simultaneous Pell
equations. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 498, 173-199.
Chen, J.H. (2001). A note on the Diophantine equation
Acta Arithmetica, 96(3), 205-212.
Tao, L. (2015). Conjectured that for the system of simultaneous Pell Equations and Pure Mathematical Sciences, 5(1), p. 27-32.
Yunyun, Q. (2018), On simultaneous Pell Equations and Journal of Number theory. 184(1), p. 128-132.
Yuan, P. (2004). Unique positive integer solutions for a class of Pell-type equations. Number Theory, 26(1), 33-40.
Ai, X., Chen, J., Zhang, S., & Hu, H. (2015). Complete solutions of the simultaneous Pell equations and Journal of Number Theory, 147, 103-108.
Smith, J. (2020). Congruences and their applications in number theory. Number Theory Review, 22(3), 45-52.
